Интересности. Теорема о разбиении на квадраты.

Теорема. Любое натуральное число можно представить в виде суммы сколь угодно большого количества квадратов различных рациональных чисел.
Доказательство.
Действительно, возьмем наше натуральное число N и представим его в виде суммы N единиц.
N=1+1+...+1 (N раз)
Тогда доказательство нашего утверждения сводится к доказательству двух лемм.

Лемма 1. Единицу можно представить в виде суммы сколь угодно большого количества квадратов различных рациональных чисел.

Доказательство.

Действительно, 1 = ((4/5)^2+(3/5)^2) = (((4/5)^2)*1+((3/5)^2)*1) =

= (((4/5)^2)*((4/5)^2+(3/5)^2)+(3/5)^2))

Повторим подобное столько, сколько нам нужно, раз, откроем скобки и получим сколь угодно большое количество квадратов рациональных чисел.

 Немного не отсюда, но все же.

Лемма 2. Единицу можно представить в виде суммы квадратов двух рациональных чисел бесконечным количеством способов.
Доказательство.
Действительно, (a/c)^2+(b/c)^2=1 равносильно a^2+b^2=c^2, где НОД(a, b, c)=1.
Таким образом, эта лемма сводится к доказательству бесконечности количества примитивных пифагоровых троек, что очевидно:
Любая примитивная пифагорова тройка задается произвольными числами m и n разной четности в виде кортежа (m^2-n^2, 2*m*n, m^2+n^2). Таким образом, их бесконечно много.